Sistemas de equações

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quinta-feira, 17 de fevereiro de 2011		Link:

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Sistemas de equações são aplicados quando precisamos resolver problemas matemáticos que possuem duas incógnitas. Veja nessa publicação como resolvê-los pelo método de substituição.

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Concurseiro

Vamos começar com um exemplo prático de problema.

Alguns jovens estavam numa festa. Algumas horas mais tarde 15 moças precisaram ir embora e aí os rapazes perceberam que para cada uma que ficou havia 2 rapazes. Mais tarde 45 rapazes foram embora também, ficando 5 moças para cada um dos rapazes restantes. Quantas moças e quantos rapazes havia na festa quando ela começou?

Resolução

Esse problema apresenta duas incógnitas:

Rapazes e moças.

Vamos dividir o problema analisando cada situação:

Na primeira situação vamos usar x para indicar o número de rapazes e y para indicar o número de moças.

	Situação 1	Situação 2	Situação 3
Rapazes	x
Moças	y

Depois temos que analisar qual foi a foi a primeira mudança que ocorreu. No caso foi a saída das 15 moças. Como o número de rapazes não se alterou então a segunda situação fica da seguinte forma:

	Situação 1	Situação 2	Situação 3
Rapazes	x	x
Moças	y	y - 15

A mudança seguinte ocorreu quando alguns rapazes resolveram ir embora. Nessa ocasião, o número de moças continuou o mesmo.

	Situação 1	Situação 2	Situação 3
Rapazes	x	x	x - 45
Moças	y	y - 15	y -15

Foi dito também que quando algumas moças foram embora - situação 2 - o número de rapazes para cada moça era de 2 para 1. Isso é o mesmo que dizer que na situação 2 o número de rapazes era o dobro do número de moças

x = 2 * (y - 15)

E que quando alguns rapazes também decidiram sair - situação 3 - o número de moças para cada rapaz que ficou na festa era de 5 para 1.  É o mesmo que dizer que na situação 3 o número de moças era 5 vezes maior do que o número de rapazes. Sendo assim temos:

y - 15 = 5 * (x - 45)

Dessa forma montamos um sistema de duas equações e duas incógnitas.


Existem várias maneiras de se resolver esse problema, mas aqui será apresentado como resolver pelo método da substituição.

Vamos começar substituindo o valor de x na segunda equação. E sendo assim, já que:

x = 2 * (y - 15)

É o mesmo que:

x = 2y - 30

Então a segunda equação:

y - 15 = 5 * (x - 45)

Fica:

y - 15 = 5 * (2y - 30 - 45)

Ficou muito mais fácil resolver com uma incógnita só.

y - 15 = 5 * (2y - 30 - 45)
y - 15 = 10y - 150 - 225
y - 15 = 10y - 375
y - 10y = -375 + 15
-9y = -360

Como não podemos deixar o valor de y negativo fazemos a multiplicação por menos um.

-9y = -360 (* -1)
 9y = 360
y = 360 ÷ 9
y = 40

Já sabemos quantas moças tinham no início de tudo, para ver quantos rapazes havia devemos substituir o valor de y na outra equação.

x = 2 * (y - 15)

x = 2y - 30
x= 2 * 40 - 30
x = 80 - 30
x = 50 

Pronto, chegamos ao resultado. No início da festa havia 50 rapazes.

Vamos checar para ver se bate?

No início da festa havia 50 rapazes e 40 moças, com  a saída de 15 moças ficaram 50 rapazes e 25 moças. Exatamente 2 rapazes para cada moça. Com a saída de 45 rapazes, ficaram 5 rapazes e 25 moças. Exatamente 5 moças para cada rapaz. Portanto a resposta é:

No início da festa havia 50 rapazes e 40 moças.

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Exercícios

1) Numa festa de casamento havia, entre homens e mulheres, um total de 80 pessoas. Quando saíram 15 mulheres e 5 homens, restou um número igual de homens e mulheres. Quantos homens e quantas mulheres estavam no início da festa?

a) 35 homens e 40 mulheres
b) 40 homens e 30 mulheres
c) 35 homens e 45 mulheres
d) 40 homens e o 40 mulheres
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2) No estacionamento de um condomínio havia 57 veículos entre carros e motos, somando um total de 184 rodas sem contar o estepe. Sabendo disso, quantos veículos estavam no estacionamento?

a) 30 carros e 22 motos
b) 32 carros e 25 motos
c) 35 carros e 20 motos
d) 35 carros e 22 motos

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Exercício 1

Montar a primeira equação é fácil. Basta pegar a parte do enunciado que diz, "Numa festa de casamento havia, entre homens e mulheres, um total de 80 pessoas." e transformá-la em linguagem matemática.

x + y = 80

Essa é a primeira equação do nosso sistema, onde x vai representar o número de homens e y o número de mulheres.

Já vamos isolar o valor de x:

x + y = 80

x = 80 - y

Sabemos que do total de mulheres, 15 foram embora. Portanto:

y - 15

E que do total de homens, 5 foram embora. Então:

x - 5

Ficou dito que ao saírem as 15 mulheres e os 5 homens do total de 80 pessoas que havia, restaram a mesma quantidade de homens e mulheres na festa. Sendo assim, nós montamos a seguinte equação:

80 - (x - 5) = 80 - ( y - 15)

Vamos resolvê-la, para isso substitua o valor de x sabendo que x = 80 - y.

80 - x + 5 = 80 - y + 15
-x + y = 80 - 80 + 15 - 5
-x + y = 10

Achamos a segunda equação do nosso sistema.


Agora podemos finalmente resolvê-la, basta substituir os valores. Vou começar achando o número de mulheres que havia no início da festa.

Já sei que x = 80 - y então:

-x + y = 10

-( 80 - y) + y = 10

-80 + y + y = 10
2y = 10 + 80
2y = 90
y = 90 ÷ 2
y = 45

Agora com o valor de y já posso achar o valor de x.

x + y = 80
x = 80 - y
x = 80 - 45
x = 35

Pronto. Havia 35 homens e 45 mulheres no início da festa de casamento.

A resposta é a letra 'c'.

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Exercício 2

As duas incógnitas desse exercício são os carros e as motos. Vamos representar os carros pela letra x e as motos pela letra y.

Sabendo que o total de carro mais o total de motos é igual à 57 montamos a seguinte equação:

x + y = 57

Essa é a primeira equação do nosso sistema.

O enunciado diz que se somadas todas as rodas sem contar o estepe nós encontraremos 187 rodas. Fora isso não fornece mais nenhuma outra informação, mas nós sabemos que carros possuem 4 rodas e motos possuem 2 rodas sendo assim a nossa segunda equação será:

4x + 2y = 184

Montando o sistema teremos:


Agora é só substituir e para isso a gente procura fazer pelo que nos parece mais fácil. Nesse caso eu vou substituir o valor de x na equação debaixo.

Sabendo que x + y = 57 é o mesmo que x = 57 - y, então:

4x + 2y = 184

4*(57 - y) + 2y = 184
228  - 4y + 2y = 184
-2y = 184 - 228
-2y = - 44 (* -1)
2y = 44
y = 44 ÷ 2
y = 22

Encontramos quantas motos havia no estacionamento, vamos achar quantos carros havia.

x + y = 57

x = 57 - y

x = 57 - 22
x = 35

Havia 35 carros e 22 motos no estacionamento do condomínio.

A resposta é a letra 'd'.

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