Produtos notáveis

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terça-feira, 15 de fevereiro de 2011		Link:

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Seguindo com as matérias que costumam aparecer nos concursos e vestibulares, será mostrado nessa publicação os principais casos que ocorrem nos produtos notáveis, tais como: Quadrado de uma soma, quadrado de uma diferença, diferença de dois quadrados, fatoração, cubo de uma soma e cubo de uma diferença.

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Concurseiro

Quadrado de uma soma

O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo mais duas vezes o primeiro vezes o segundo, mais o quadrado do terceiro termo.

(a + b)² = a² + 2*a*b + b²

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Quadrado de uma diferença

O quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo menos duas vezes o primeiro vezes o segundo, mais o quadrado do terceiro termo.

(a - b)² = a² - 2*a*b + b²

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Diferença de dois quadrados

A diferença de dois quadrados é igual ao produto da soma pela diferença da raiz quadrada de cada um dos termos.

x² - 16 = (x + 4) * (x - 4)

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Fatoração

Resolve-se colocando os termos comuns em evidência.

5x² - 15 = 5x*(x + 3)

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Cubo de uma soma

Resolve-se pelo cubo do primeiro termo, mais três vezes o primeiro termo ao quadrado vezes o segundo, mais três vezes o primeiro termo vezes o segundo termo ao quadrado, mais o cubo do segundo termo.

(a + b)³ = a³ + 3*a²*b + 3*a*b² + b³

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Cubo de uma diferença

Resolve-se pelo cubo do primeiro termo, menos três vezes o primeiro termo ao quadrado vezes o segundo, mais três vezes o primeiro termo vezes o segundo termo ao quadrado, menos o cubo do segundo termo.

(a - b)³ = a³ - 3*a²*b + 3*a*b² - b³

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Exercícios

1) Se x² - y² = 135 e x - y = 9, então qual é o valor para x e y?

a) 3 e 12
b) 6 e 15
c) 3 e 15
d) 6 e 12

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2) Sabe-se que x + y = 10 e x * y = 6, então qual é o valor de x² + y²?

a) 60
b) 120
c) 88
d) 80

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3) Se x + y = 8 e x * y = 15, qual e o valor de x² + 6xy + y²?

a) 64
b) 109
c) 124
d) 204
e) 154

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Exercício 1

Queremos saber os valores de x e y isoladamente.

Sabemos que:

x² - y² = 135
x - y = 9

Sendo assim vamos resolver pelo método de substituição começando pelo valor de x.

Se x - y = 9 então x = 9 + y

Façamos:

x² - y² = 135


(9 + y)² - y² = 135

Aplicamos a regra do quadrado de uma soma:

9² + 2*9*y + y² - y² = 135


81 + 18y = 135
18y = 135 - 81
18y = 54
y = 54 ÷ 18
y = 3

Já temos o valor de y, agora vamos substituí-lo.

x² - y² = 135

x² - 3² = 135
x² - 9 = 135
x² = 135 - 9
x² = 144
x = √144
x = 12

Portanto a resposta é a letra 'a'.

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Exercício 2

Queremos saber o resultado da soma entre x² + y².

Já sabemos que:

x + y = 10 
x * y = 6

Para descobrir vamos pegar o x + y = 10  e elevar ao quadrado para depois resolver.

(x + y )² = 10²

Resolvemos aplicando a regra do quadrado de uma soma:

x² + 2*x*y + y² = 100

Lembre-se que x * y = 6, então:

x² + 2*6 + y² = 100
x² + 12 + y² = 100
x² + y² = 100 - 12
x² + y² = 88

A resposta é a letra 'c'.

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Exercício 3
Queremos saber o valor de x² + 6xy + y².

Sabemos que:

x + y = 8 
x * y = 15

Só de olhar já sabemos parte do valor desse produto notável pois:

Se x * y = 15 então 6xy é igual a 90

Sobrou só  x² + y² para calcularmos. Sendo assim elevamos o x + y = 8 ao quadrado:

(x + y)² = 8²

Resolvemos aplicando a regra do quadrado de uma soma:

x² + y² + 2xy = 64

Lembre-se que x * y = 15, então:


x² + y² + 30 = 64 x² + y² = 64 - 30 x² + y² = 34

Agora já temos tudo que precisamos para saber o resultado de x² + 6xy + y.

x² + y² + 6xy = 34 + 90 = 124

A resposta é a letra 'c'.

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