Análise combinatória

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segunda-feira, 21 de fevereiro de 2011		Link:

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A análise combinatória serve para descobrir qual é o número de ocorrências possíveis através da combinação de variáveis. A maneira mais fácil de entender sobre isso é vendo exemplos práticos e que serão mostrados nessa publicação. Se você vai prestar concurso ou vestibular, saiba que essa matéria é bastante cobrada.

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Concurseiro

1º Exemplo

Para começarmos a entender o que é análise combinatória, vamos supor que em um país qualquer, o sistema de registro de automóveis utiliza 2 letras e 4 algarismos nas placas. Nesse país o alfabeto é constituído de 23 letras mais as letras K, W e Y. Não será permitido o registro de uma placa de automóvel onde todos os números sejam iguais a zero. Qual será o número total de registros que suportará esse sistema?

Para resolver esse problema vamos usar um esquema de casinhas. Serão duas letras e quatro números, portanto façamos seis casinhas.

Casas	1ª	2ª	3ª	4ª	5ª	6ª
Possibilidades

Vamos checar nossas variáveis:

Sabemos que serão duas letras na placa e que o alfabeto que estamos trabalhando possui 26 letras. Isso quer dizer que podemos preencher a primeira casinha de 26 maneiras diferentes e a segunda casinha também, pois existem placas onde a primeira letra é igual a segunda como em:

AA 2568
YY 9830
NN 8888

Casas	1ª	2ª	3ª	4ª	5ª	6ª
Possibilidades	26	26

A terceira casinha será preenchida de 10 maneira diferentes.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e 0

Casas	1ª	2ª	3ª	4ª	5ª	6ª
Possibilidades	26	26	10

O mesmo acontece com a quarta, quinta e sexta casinha, pois também existem placas do tipo:

AF 4444
GD 7777
TT 2222

E assim por diante:

Casas	1ª	2ª	3ª	4ª	5ª	6ª
Possibilidades	26	26	10	10	10	10

Tendo percebido quais são as variáveis do problema vamos resolvê-lo.

Para saber o número de combinações possíveis devemos multiplicar.

26 x 26 x 10 x 10 x 10 x 10 = 6 760 000

Obtemos o valor de 6 760 000 combinações. Acontece que nesse valor que descobrimos também estão incluídas aquelas placas onde todos os número são zeros. Devemos então descobrir quantas placas possuem todos os números iguais a zero e para isso vamos usar o mesmo esquema.

Sabemos que são 26 possibilidades diferentes na primeira casa e 26 possibilidades diferentes na segunda casa. Na terceira casa só haverá uma possibilidade, pois estamos procurando apenas por placas que possuam zeros.

Casas	1ª	2ª	3ª	4ª	5ª	6ª
Possibilidades	26	26	1

O mesmo acontecerá com o restante das casas.

Casas	1ª	2ª	3ª	4ª	5ª	6ª
Possibilidades	26	26	1	1	1	1

Agora é só multiplicar para ver quantas são as combinações possíveis.

26 x 26 x 1 x 1 x 1 x 1 = 676
Agora que descobrimos o número total de combinações possíveis para todos os tipos de placas e também para aquelas placas que só possuem zeros basta subtrair.

6 760 000 - 676 = 6 759 324

A resposta para esse problema é que o sistema de registro de automóveis adotado por esse país imaginário suporta até 6 759 324 combinações diferentes.

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Vamos ver outro exemplo.

2º Exemplo

Quantos anagramas será possível formar com a palavra amor?

Anagrama é um código formado com diferentes combinações das letras de uma palavra.

Veja abaixo todos os anagramas da palavra amor:

AMOR, AMRO, AOMR, AORM, ARMO, AROM, MAOR, MARO, MOAR, MORA, MRAO, MROA, OAMR, OARM, OMAR, OMRA, ORAM, ORMA, RAMO, RAOM, RMAO, RMOA, ROAM, ROMA.

Você já se imaginou fazendo isso em uma prova de vestibular ou concurso público só para descobrir  a quantidade de anagramas que é possível formar? Já pensou se a palavra fosse maior? Pernambuco por exemplo? É totalmente desnecessário fazer isso, além é claro de uma tremenda perda de tempo.

A palavra amor possui 24 anagramas contando com ela própria, mas como chegar a esse resultado?

A palavra amor é constituída de 4 letras, portanto montaremos aquele esquema com 4 casinhas.

Casas	1ª	2ª	3ª	4ª
Possibilidades

Na primeira casinha serão 4 possibilidades de preenchimento, pois são 4 letras.

Casas	1ª	2ª	3ª	4ª
Possibilidades	4

Na segunda casinha só teremos 3 possibilidades de preenchimento, pois a letra que foi usada na primeira casinha não poderá mais ser usada. Lembre-se, anagrama é um código formado com diferentes combinações das letras de uma palavra.

Casas	1ª	2ª	3ª	4ª
Possibilidades	4	3

Na terceira casinha só haverá 2 possibilidades de preenchimento, pois as letras usadas na primeira e segunda casinhas não poderão se repetir.

Casas	1ª	2ª	3ª	4ª
Possibilidades	4	3	2

E por fim só restará uma possibilidade de preenchimento na última casinha.

Casas	1ª	2ª	3ª	4ª
Possibilidades	4	3	2	1

Agora é só multiplicar.

4 x 3 x 2 x 1 = 24

Chegamos à resposta sem muito esforço. Agora faça você com a palavra Pernambuco. (^_^)

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Exercícios

1) Quantos anagramas da palavra porta começam com a letra P e terminam com a letra A?

a) 7
b) 6
c) 8
d) 5
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2) Dez cavalos disputam uma corrida. Sem considerar empates, quantos são os possíveis resultados das três primeiras colocações?

a) 840
b) 780
c) 670
d) 720
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3) Quarenta pessoas em uma reunião têm que escolher uma comissão com 3 membros para representá-las. Alberto, um dos participantes da reunião, começa a montar mentalmente essas comissões. Quantas comissões são possíveis montar?

a) 9980
b) 58820
c) 9880
d) 59280
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Exercício 1

Usando o esquema de casinhas para resolver esse problema.

Na primeira casa só poderá haver a letra R, portanto só existe uma possibilidade. Na última casa só poderá haver uma possibilidade também, pois devemos preenchê-la com a letra A. Nas casas seguintes não poderão mais aparecer as letras R e a letra A. Como as letras não poderão se repetir então na segunda casa serão três possibilidades, na terceira casa serão duas e na quarta apenas uma possibilidade de preenchimento.

Casas	1ª	2ª	3ª	4ª	5ª
Possibilidades	1	3	2	1	1

Agora é só multiplicar.

A resposta é a letra 'b'.

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Exercício 2

São dez cavalos disputando uma corrida e precisamos saber quais são os diferentes resultados possíveis nas três primeira posições sem considerar empates. Sob essas condições, qualquer cavalo pode chegar em primeiro. E depois disso qualquer um dos nove cavalos restantes pode chegar em segundo. Sobrarão oito cavalos disputando a terceira posição. Se fizermos o esquema das casinhas encontraremos:

Casas	1ª	2ª	3ª
Possibilidades	10	9	8

10 x 9 x 8 = 720

São possíveis 720 resultados diferentes para as três primeiras colocações.

Resposta é a letra 'd'.
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Exercício 3

Sabemos que, de 40 pessoas, serão escolhidas 3 para formar uma comissão. Vamos criar o esquema das casinhas.

Na primeira casinha, disputarão 40 pessoas para ocupar uma vaga na comissão. Na segunda casinha serão 39 pessoas disputando outra vaga, já que uma já terá sido escolhida. Na terceira casinha serão 38 pessoas disputando a última vaga da comissão.

Casas	1ª	2ª	3ª
Possibilidades	40	39	38

40 x 39 x 38 = 59280

Esse não é o resultado ainda, veja porque.

Para entender como funciona o raciocínio para resolver esse problema, vamos criar além de Alberto, mais dois personagens fictícios. Ana e Fernando.

O que devemos prestar atenção é que uma comissão formada pelos membros fictícios, Alberto, Ana e Fernando é a mesma comissão que Fernando, Alberto e Ana. Ou seja, alterar a ordem dos membros não cria outra comissão. Para ficar mais claro, uma comissão que tem por exemplo os membros:

Alberto, Ana e Fernando
Alberto, Fernando e Ana
Ana, Fernando e Alberto
Ana, Alberto e Fernando
Fernando, Ana e Alberto
Fernando, Alberto e Ana

Na verdade é a mesma comissão, pois uma comissão caracteriza-se pelo conjunto de seus membros e não pela ordem em que são escolhidos.

Sendo assim, quando calculamos 40 x 39 x 38 o resultado que encontramos - 59280 - na verdade inclui os três membros para formar a comissão em diferentes ordem de escolha.

Para saber qual é o número de possibilidades de formar os grupos em diferentes ordens nós pegaremos o número de pessoas que formarão a comissão, no caso 3, e faremos o esquema das casinhas.

Casas	1ª	2ª	3ª
Possibilidades	3	2	1

3 x 2 x 1 = 6

Exatamente como mostrei no exemplo acima usando os nomes fictícios. Como sabemos que essas 6 possibilidades representam a mesma comissão nós calculamos da seguinte forma.

59280 ÷ 6 = 9880

É possível montar 9880 comissões de três pessoas. 

A resposta é a letra 'c'.
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OBS: Pernambuco possibilita a formação de 3 628 800 anagramas. ∑(O_O；)

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