Conjuntos Numéricos

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sexta-feira, 21 de maio de 2010		Link:

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Há sempre questões sobre conjuntos numéricos em concursos e vestibulares e qualquer pergunta respondida erroneamente pode significar a perda da vaga. Também siguinifica que você desperdiçou todo o investimento com viagem, preparação, tempo, etc.

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Concurseiro

Conjunto dos números Naturais

O conjunto dos números Naturais é representado pela letra 'N' e é constituído pelo zero e números positivos:

N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, ...}

Possui um subconjunto representado por 'N*' que exclui o zero que é valor nulo:

N* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, ...}

Conjunto dos números Inteiros

O conjunto dos números Inteiros é representado pela letra 'Z' e é constituído por números negativos, pelo zero e por números positivos:

Z = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...}

O conjunto dos números Inteiros possui alguns subconjuntos como:

Conjunto dos Inteiros não negativos: (conjunto N)
Z+ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, …}

Conjunto dos Inteiros não positivos:
Z- = {…, -4, -3, -2, -1, 0}

Conjunto dos Inteiros não nulos:
Z* = {…, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, …}

Conjunto dos Inteiros positivos:
Z+* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, …}

Conjunto dos Inteiros negativos:
Z-* = {…, -6, -5, -4, -3, -2, -1}

Conjunto dos números Racionais

O conjunto dos números Racionais é representado pela letra 'Q' e pode ser escrito na forma de fração (a/b) desde que o valor de 'a' seja um número inteiro e o valor de 'b' seja diferente de zero.

Veja alguns exemplos:

a) 3 = ³/₁
b) 0,8 = ⁸/₁₀
c) 0,4343 = ⁴³/₉₉
d) -8 = -⁸/₁
e) 0,555 = ⁵/₉
f) 3,41 = ³⁴¹/₁₀₀

O conjunto dos números Racionais também possui subconjuntos:

Conjunto dos números Racionais não negativos:
Q+ = {x Є Q / x ≥ 0}

Conjunto dos números Racionais não positivos:
Q– = {x Є Q / x ≤ 0}

Conjunto dos números Racionais não nulos:
Q* = {x Є Q / x ≠ 0}

Conjunto dos números Racionais positivos:
Q*+ = {x Є Q / x > 0}

Conjunto dos números Racionais negativos:
Q*– = {x Є Q / x < 0}

Conjunto dos números Irracionais

O conjunto dos números Irracionais é representado pela letra 'I' e possue números que não podem ser escritos na forma de fração e tem infinitas casa decimais que não são periódicas. Números não-periódicos são aqueles que não se repetem. Dízima é o numeral que se apresenta em uma série infinita e expressa o resultado de uma divisão. Quando se repete em grupos ordenados e sempre na mesma disposição, são chamados de período. Quando não é possível determinar o período de uma dízima dizemos que o número é Irracional. Entendeu? Veja os exemplos de dízimas que fica mais fácil entender:

Dízima periódica simples: (Neste caso a dízima aparece imediatamente após a vírgula.)

0,44444… (Período 4)

0,512512512… (Período 512)

0,56565656… (Período 56)

0,354235423542... (Período 3542)

3,333333... (Período 3)

Dízima periódica composta:(Neste caso há um ou mais algarismos que não entram na composição do período.)

0,72222222… (Período 2)

0,58444444… (Período 4)

0,15262626… (Período 26)

1,154444... (Período 4)

Dízima não-periódica: (Impossível determinar o período)

3,1622776601... (Período inexistente)

13,3041134695... (Período inexistente)

7,6811457478... (Período inexistente)

Percebeu que não é possível determinar o período em um número Irracional? As raízes quadradas de números que não são quadrados perfeitos são também chamadas de números Irracionais. Quadrados perfeitos são aqueles números que são obtidos ao se multiplicar um número natural por ele próprio. Um exemplo de quadrado perfeito é o 25 já que nada mais é do que 5 ao quadrado ou 5 x 5. Esses números acima que não puderam ter seu períodos determindados são respectivamente √10, √177 e √59. Veja outros exemplos:

√6 = 2,4494...

√2 = 1,4142...

√3 = 1,7320...

Conjunto dos números Reais

O conjunto dos números Reais engloba todos os demais conjuntos mencionados anteriormente e é representado pela letra 'R'. Seus subconjuntos são:

Conjunto dos números Reais não negativos:
R+ = {x Є R / x ≥ 0}

Conjunto dos números Reais não positivos:
R– = {x Є R / x ≤ 0}

Conjunto dos números Reais não nulos:
R* = {x Є R / x ≠ 0}

Conjunto dos números Reais positivos:
R*+ = {x Є R / x > 0}

Conjunto dos números Reais negativos:
R*– = {x Є R / x < 0}

Veja abaixo a hierarquia dos conjuntos:


Existe ainda o conjunto dos números Imaginários ou Complexos representado pela letra 'C' e que surgiu devido a necessidade de resolver problemas que envolvem raízes com números negativos. Para isso foi determinado que a raiz de menos um seria igual a um. (√-1 = 1). Essa é uma unidade imaginária e com ela podemos dizer que 'i' ao quadrado é igual a menos um. Para a resolução dos números complexos, podemos utilizar uma fórmula (z=a+bi) onde 'z' é o número complexo a ser encontrado, 'a' é o número real e 'bi' é a parte imaginária da equação. Veja:

Na equação (z=6+2i) o 'z' é a incógnita, o '6' é o valor real e o '2i' é o valor imaginário.

Isso foi só uma introdução aos números complexos. Esse assunto merece uma publicação própria e não será abordado agora, já que o foco são os conjuntos dos números Naturais, Inteiros, Racionais, Irracionais e Reais.

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Exercícios

1) Em uma pesquisa de opinião, uma empresa perguntou a oitocentas pessoas qual era o sabor de sorvete que elas gostavam. Duzentas pessoas disseram que gostavam do sorvete de creme, trezentas responderam sorvete de chocolate. Dessas pessoas, cento e trinta disseram que gostavam igualmente do sorvete de creme e do sorvete de chocolate. Quantas pessoas não responderam nenhum dos dois sabores?

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2) Uma pesquisa entre 800 consumidores – sendo 400 homens e 400 mulheres – mostrou os
seguintes resultados. Do total de pessoas entrevistadas, 500 assinam o jornal X, 350 têm curso superior, 250 assinam o jornal X e têm curso superior. Do total de mulheres entrevistadas, 200 assinam o jornal X, 150 têm curso superior, 50 assinam o jornal X e têm curso superior. O número de homens entrevistados que não assinam o jornal X e não têm curso superior é portanto igual a?

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3) Considere os seguintes números:

I. 33,33333...
II. 0,010010001...
III. 0,123412341234

Quais são números racionais?

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4) Em uma cidade existem duas empresas de transporte coletivo, A e B. Exatamente 70% dos
estudantes dessa cidade utilizam a empresa A e 50% a empresa B. Sabendo que todo estudante da cidade é usuário de pelo menos uma das empresas, qual o percentual deles que utilizam as duas empresas?

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5) Considere dois conjuntos, A e B, tais que A = {4, 8, x, 9, 6} e B = {1, 3, x, 10, y, 6}. Sabendo que a interseção dos conjuntos A e B é dada pelo conjunto {2, 9, 6}, o valor da expressão y - (3x + 3) é igual a:

a) -28
b) -19
c) 32
d) 6
e) 0

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Exercício 1

Vamos separar os dados:

Sorvete de creme
200

Sorvete de chocolate
300

Sorvete de creme e chocolate
130

Outros sabores
?

Total de entrevistados
800

Montemos os conjuntos:


Observando a figura fica fácil retirar os dados:

creme U chocolate = 500
creme ∩ chocolate = 130

A união dos grupos menos a interseção é igual a: 370

500 - 130 = 370

Sabemos que 370 representa o número de pessoas que gostam somente de sorvete de creme ou somente de sorvete de chocolate. Sabemos também que o número total de entrevistados foi 800.

Sendo assim é só subtrair:

800 - 370 = 430

Resposta:

Quatrocentas e trinta pessoas entrevistadas não responderam sorvete de creme ou chocolate.


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Exercício 2

Vamos separar os dados:

Homens = 400
Mulheres = 400
Total = 800 entrevistados

Do conjunto homens e mulheres:

350 tem curso superior

Dados sobre leitores do jornal X:

500 assinantes no total
250 assinantes com curso superior

Do total de mulheres entrevistadas:

200 assinam o jornal X
150 posuem o ensino superior
50 possuem o ensino superior e assinam o Jornal X

Vamos usar a lógica:

• Sabemos que 50 mulheres entrevistadas assinam o jornal X e têm ensino superior;
• Como são 200 mulheres no total que assinam o jornal X, então 150 mulheres que assinam este jornal, não possuem o ensino superior;
• Sabemos que 250 assinantes do jornal X possuem ensino superior. Portanto, 200 são homens;
• Do total de 150 mulheres que possuem o ensino superior, 100 não assinam o jornal X;
• Sabemos que 350 pessoas entrevistadas possuem o ensino superior sendo, 150 mulheres (50 que assinam o jornal X e 100 que não assinam) e 200 homens que assinam o jornal X;

Vamos rever alguns cálculos:

Focando nas mulheres nós desobrimos que 100 posuem o ensino superior, 50 possuem o ensino superior e assinam o jornal X e 150 somente assinam o jornal X. Perfazendo um grupo de 300 mulheres, deixando de fora 100 mulheres do total de 400 que não assina o jornal X e nem possui o ensino superior.

Já descobrimos que dos leitores do Jornal X, 200 são homens e possuem o ensino superior, 50 são mulheres e possuem o ensino superior e que 150 mulheres não possuem o ensino superior perfazendo assim um total de 400 pessoas. Sendo assim, falta alocar 100 pessoas do total de 500 que lêem o jornal. Como o grupo das mulheres já foi todo preenchido, essas 100 pessoas que faltam e que apenas assinam o jornal X só podem ser homens.


Como o total de homens entrevistados são 400 e sabemos que 200 são os que têm curso superior e 100 não têm perfazendo um total de 300, restam apenas 100 homens que não foram incluídos nesses grupos.

Resposta:

O número de homens entrevistados que não assinam o jornal X e também não possuem ensino superior é 100.


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Exercício 3

Para resolver este enunciado, basta lembrar que os números Irracionais não podem ser colocados em forma de fração e que também podem ser fácilmente identificados por possuírem infinitas casa decimais não periódicas.

I. 33,33333... (Período 3)
II. 0,010010001... (Período inexistente)
III. 0,123412341234 (Período 1234)

Resposta:

I e III são números Racionais


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Exercício 4

Esse exercício pode ser resolvido através da seguinte fórmula:

n(A ∪B) = n(A) + n(B) − n(A ∩B)

Todos os estudantes da cidade utilizam pelo menos uma empresa e na cidade só há a empresa A e a empresa B, portanto:

n(A ∪B) = 100%

A empresa A transporta 70% dos estudades:

n(A) = 70%

A empresa B atente à 50% dos estudantes:

n(B) = 50%

Queremos saber a porcentagem de estudantes que utilizam os dois transportes. A fórmula fica assim:

100% = 70% + 50% − n(A ∩B)
100% = 120% - n(A ∩B)
n(A ∩B) = 120% - 100%
n(A ∩B) = 20%

Resposta:

20% dos alunos utilizam as duas empresas.


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Exercício 5

Veja o diagrama:


Veja que 'x' só pode ser igual a 2 e que 'y' igual a 9. Substitua os valores e veja por exemplo que se fosse o contrário, ou seja x=9 e y=2, então teríamos o 9 aprecendo duas vezes no conjunto A.

Fica assim então:

A = {4, 8, 2, 9, 6}
B = {1, 3, 2, 10, 9, 6}.

Substituiremos os valores na expresão

y - (3x + 3) = valor
9 - (6 + 3) = valor
0 = valor

Resposta:

O valor da expressão é '0', portanto a resposta correta é a letra 'e'.

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